Informatik II - Übung 2

Pascal Schärli

student.ethz@schaerli.org

02.10.2020

Administratives

Pascal Schärli 25.09.2020

Nachbesprechung

Pascal Schärli 02.10.2020

Altägyptische Multiplikation

  1. Induktionsbeweis über a möglich?
    • Nein! Der Induktionsanfang schlägt bereits für b>1 fehl!
    • Da a ständig wachsend ist, ist kein Rückschluss auf bereits bewiesene Fälle möglich.
  2. Terminiert der Algorithmus?
    • Ja, da nach ⌊log 2 (b)⌋ Schritten b=1 sein wird
  3. Wie ändert sich der Beweis wenn erst bei b=0 terminiert wird?
    • Der Algorithmus geht einen Schritt länger, da ⌊1/2⌋ = 0 ist. Der Rest ist analog zur Vorlesung.
f(a,b) = \begin{cases} a &, \text{falls } b = 1\\ f(2a,b/2) &, \text{falls b gerade}\\ f(2a,\frac{b-1}{2}) + a &, \text{sonst} \end{cases}

Pascal Schärli 02.10.2020

Laufzeitkomplexität

public static boolean gerade( int x ){
	if( x == 0 ) return true;
	return !gerade(x - 1);
}

\(x\) Aufrufe

public static int verdopple( int x ){
	if( x == 0 ) return 0;
	return 2 + verdopple( x-1 );
}

\(x\) Aufrufe

public static int halbiere( int x ){
	if( x == 0 || x == 1 ) return 0;
	return halbiere(x - 2);
}

\(\lfloor \frac{x}{2} \rfloor\) Aufrufe

Pascal Schärli 02.10.2020

Laufzeitkomplexität

private static int f(int a, int b){
	if (b == 0) return 0;
	if (gerade(b)) return f(verdopple(a), halbiere(b));
	else return a + f(verdopple(a), halbiere(b));
}

Ignorieren, dass f sich selbst aufruft

  • \(gerade(b)\), \(verdopple(a)\) und \(halbiere(b)\) werden so oder so aufgerufen
     
  • → Anzahl aufrufe: \(b+1 + a+1 + \lfloor \frac{b}{2} \rfloor +1 ≈ a + \frac{3b}{2} + 3 \)

 

Pascal Schärli 02.10.2020

Laufzeitkomplexität

private static int f(int a, int b){
	if (b == 0) return 0;
	if (gerade(b)) return f(verdopple(a), halbiere(b));
	else return a + f(verdopple(a), halbiere(b));
}

Ohne Ignorieren, dass f sich selbst aufruft

Zusammen mit 2 b) ergibt sich:
 

\(N(a,b) = (a + \frac{3b}{2} + 3) + N(2a,\frac{b}{2})\)

\(= \sum_{i=0}^{k-1}(2^i a) + \sum_{i=1}^{k}(\frac{3b}{2^i})+3k\)

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Fehler während der Übungsstunde

Überprüfung von Benutzereingaben

/**
 * This function implements the ancient Egyptian multiplication.
 *  
 * @param a must be a positive integer
 * @param b must be a positive integer
 * @return the product of a and b
 * @throws IllegalArgumentException if a or b is not positive
 */
    public static int mult(int a, int b) throws IllegalArgumentException {
        if (a < 1) throw new IllegalArgumentException("Parameter a must be a positive integer but is " + a);
        if (b < 1) throw new IllegalArgumentException("Parameter b must be a positive integer but is " + b);
        return f(a, b);
    }
}

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Vorlesung

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Bäume

Pascal Schärli 02.10.2020

Bäume

Graph
Gerichteter Graph
Baum
Blätter
Binärbaum
Voller Baum
Vollständiger Baum
Entarteter Baum
Höhe
Pfad

Knoten

Kanten

Pascal Schärli 02.10.2020

Bäume

Graph
Gerichteter Graph
Baum
Blätter
Binärbaum
Voller Baum
Vollständiger Baum
Entarteter Baum
Höhe
Pfad

Kanten haben eine Richtung

Pascal Schärli 02.10.2020

Bäume

Graph
Gerichteter Graph
Baum
Blätter
Binärbaum
Voller Baum
Vollständiger Baum
Entarteter Baum
Höhe
Pfad

Zusammenhängender, Gerichteter Graph ohne geschlossenen Pfade

Pascal Schärli 02.10.2020

Bäume

Graph
Gerichteter Graph
Baum
Blätter
Binärbaum
Voller Baum
Vollständiger Baum
Entarteter Baum
Höhe
Pfad

Knoten ohne Kindknoten

Pascal Schärli 02.10.2020

Bäume

Graph
Gerichteter Graph
Baum
Blätter
Binärbaum
Voller Baum
Vollständiger Baum
Entarteter Baum
Höhe
Pfad

jeder Knoten besitzt höchstens zwei Kindknoten, die Reihenfolge der Kindknoten ist relevant.

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Bäume

Graph
Gerichteter Graph
Baum
Blätter
Binärbaum
Voller Baum
Vollständiger Baum
Entarteter Baum
Höhe
Pfad

jeder Knoten besitzt entweder zwei oder keine Kinder

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Bäume

Graph
Gerichteter Graph
Baum
Blätter
Binärbaum
Voller Baum
Vollständiger Baum
Entarteter Baum
Höhe
Pfad

Alle Blätter haben die selbe Tiefe

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Bäume

Graph
Gerichteter Graph
Baum
Blätter
Binärbaum
Voller Baum
Vollständiger Baum
Entarteter Baum
Höhe
Pfad

Ungleich verteilter Baum

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Bäume

Graph
Gerichteter Graph
Baum
Blätter
Binärbaum
Voller Baum
Vollständiger Baum
Entarteter Baum
Höhe
Pfad

Anzahl “Levels” ohne Wurzel
→ hier: 3

Pascal Schärli 02.10.2020

Bäume

Graph
Gerichteter Graph
Baum
Blätter
Binärbaum
Voller Baum
Vollständiger Baum
Entarteter Baum
Höhe
Pfad

Weg durch Graph (Nur in Pfeilrichtung)

Pascal Schärli 02.10.2020

Eingerückte Darstellung

Indent = 1
Indent = 2
Indent = 3
Indent = 0
5

5
.8

5
.8
..3

5
.8
..3
..2
5
.8
..3
..2
...1
5
.8
..3
..2
...1
...9
5
.8
..3
..2
...1
...9
.7
5
.8
..3
..2
...1
...9
.7
..3
5
 8
  3
  2
   1
   9
 7
  3

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Klammer Darstellung

 
5(                )
5(8(        )     )
5(8(3       )     )
5(8(3,2(   ))     )
5(8(3,2(1  ))     )
5(8(3,2(1,9))     )
5(8(3,2(1,9)),7( ))
5(8(3,2(1,9)),7(3))

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Mengendiagramm

5

8

7

3

2

9

3

1

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Binärbäume als Array

0

1

2

3

4

6

5

[   ,    ,    ,    ,    ,    ,   ]

0

1

2

3

4

5

6

'H'
'B '
'J'
'A '
'E'
' '
'M'
left child:  2*i+1
right child: 2*i+2
parent:      ⌊(i-1)/2⌋

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Was ist die Höhe von diesem Baum?

Lösung: 3

a

a

b

c

d

g

d

e

f

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Wie viele Blätter hat dieser Baum?

Lösung: 4

a

a

b

c

d

f

d

e

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Wie viele Knoten hat der Längste Pfad?

Lösung: kein korrekter Baum

a

a

b

c

d

g

d

e

f

g

d

h

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Keine Zyklen erlaubt!

Lösung: 2

a

a

b

c

d

e

f

i

j

g

h

(a(b(d(g,e)),c(f(h,i,j))))
a
 b
  d
   g
  e
 c
  f
   h
   i
   j

1

2

3

Welche Darstellung zeigt einen anderen Wurzelbaum?

Pascal Schärli 02.10.2020

a

a

b

c

d

e

f

g

(a(b(d,e(g)),c(f)))

Welche Darstellung zeigt einen anderen Wurzelbaum?

a

b

c

d

e

g

f

Lösung: alles der gleiche Baum

1

2

3

Pascal Schärli 02.10.2020

a

a

b

c

d

e

f

g

(a(b(d,e(g)),c(f)))

Welche Darstellung ist kein Binärbaum?

Lösung: 2

a
 b
  d
  e
   g
   -
 c
  -
  f

1

2

3

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Bei 2 ist die Reihenfolge der Kind-knoten nicht gegeben

a

a

b

c

d

e

f

Lösung: 3

Welches ist die richtige Arraydarstellung des Binärbaums?

['a', 'b', 'd', ' ', 'c', 'e', 'f'] 

['a', 'b', 'c', 'd', 'e', 'f'] 

['a', 'b', 'c', 'd', ' ', 'e', 'f'] 

4

['a', 'b', 'd', 'c', 'e', 'f'] 

1

2

3

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Vorbesprechung

Pascal Schärli 02.10.2020

Wurzelbäume

  • Umwandeln zwischen Gerichteten Graphen, Klammer Darstellung und eingerückter Darstellung
     
  • Höhe, längste Pfade & Blätter im Baum finden
     
  • Alles ausführlich im BestOf diskutiert

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Aufgabe 1 - Konstruktor

Implementiert den Konstruktor, der ein Array der angegebenen Grösse erstellt und mit Zufallszahlen füllt:

  1. Der Konstruktor ist die Funktion RandomArray im File RandomArray.java
  2. Verwendet die Klasse Random:
     
  3. Initialisiert den Array numbers mit der gegebenen Grösse:
     
  4. Neues Objekt von der Klasse Random erstellen:
     
  5. Zufallszahlen generieren:
import java.util.Random;
numbers = new int[length];
Random r = new Random();
int random_integer = r.nextInt(1000)	//random Integer between 0 and 999

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Aufgabe 2 - toString

Implementiert ie Funktion toString, die eine Stringrepräsentation des Arrays erzeugt.

  1. In Java können Strings "addiert" werden:

     
  2. Man kann Strings auch mit Zahlen addieren:

     

  3. Gebt acht, dass Ihr die Leerschläge am richtigen Ort habt:

  • {1,2,3} =>'[1, 2, 3]'
"Hello " + "World!" => "Hello World!"
"M" + 8 => "M8"

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Aufgabe 3 - sortieren

  • Implementiert die Funktion recursiveSort (von sort() aufgerufen mit der länge des arrays)

     

  • Gegeben eine Liste mit n Elementen:

    Die ersten i Elemente der Liste können absteigend sortiert werden indem man:

    1. Die grössten i-1 Elemente absteigend sortiert

    2. Das grösste Element im Rest der Liste suchen…

    3. … und dieses an der ersten Stelle vom Rest der Liste einsetzen

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Aufgabe 3 - sortieren

[5, 1, 9, 2]
[5, 1, 9, 2]
[5, 1, 9, 2]
[5, 1, 9, 2]
[5, 1, 9, 2]
[5, 1, 9, 2]
[9, 1, 5, 2]
[9, 1, 5, 2]
[9, 5, 1, 2]
[9, 5, 1, 2]
[9, 5, 2, 1]
[9, 5, 2, 1]
Die grössten i-1 Elemente absteigend sortiert
Das grösste Element im Rest der Liste suchen…
… und dieses an der ersten Stelle vom Rest der Liste einsetzen
recursiveSort(4)
  recursiveSort(3)
    recursiveSort(2)
      recursiveSort(1)
        recursiveSort(0)
        -> Leere Liste ist Sortiert
      grösstes Element -> 9
      Swap 5 <-> 9
    grösstes Element -> 5
    Swap 5 <-> 1
  grösstes Element -> 2
  Swap 2 <-> 1
Fertig

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Binärbäume als Array

Aufgabe 1

Implementiert die Funktionen leftChild, rightChild und father, die zu einem Index eines Knotens den Index des linken Kindes, des rechten Kindes bzw. des Vaters berechnen.

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Aufgabe 2 - toString

  • Implementiert die Funktion toString, die den Binärbaum in eingerückter Form zurückgibt.
     

  • toString() ruft Hilfsfunktion toString(int node, String indentation) auf
    (zB. toString(0,“ “)

toString(int node, String indentation){
  //1. Print Node
  //2. Increase indentation
  //3. Recursive call for each child
}

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Binärbäume als Array

Aufgabe 3 - checkTree

  • Implementiert die Funktion checkTree, die das übergebene Array daraufhin überprüft, ob es eine gültige Repräsentation eines Binärbaumes ist.
     
  • Das Array sollte mindestens ein Element haben (leerer Baum → [' '])
     
  • Jedes nicht leere Element braucht eine nicht leere Parent Node
     
  • „the root is its own parent“

    parent =  (i-1)/2
    → (0-1)/2 = 0

Pascal Schärli 02.10.2020

Binärbäume als Array

Viel Spass!

Pascal Schärli 02.10.2020